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    ゲーデルの不完全性定理

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    ゲーデルの不完全性定理の有用性について、どう考えるべきか思案している。

    まずは、不完全性定理の内容について、数学的にしっかり理解することが必要。そうでないと、よくある誤解に陥ってしまい、正確な検討ができなくなる。

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    何らかの理論構築を試みる者は、常に不完全性定理を念頭に置いておくべきだろう。理論の土台がシッカリしていないと、砂上の楼閣になる。

    命題の証明等で、論理的に「正しい」「正しくない」という二者択一の内容を扱うとき、不完全性定理は有効である。

    言い方を換えれば、「正しい」「正しくない」という二者択一の内容ではないものを扱う場合は、不完全性定理の範疇に収まらない。



    ユークリッド幾何学に対して、異なる公理を前提にした非ユークリッド幾何学が考案された。

    ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学はお互いに矛盾する内容を有しているが、それぞれの体系の中では、それぞれの論理構築が可能である。



    人間の感情に基づく内容は、「正しい」「正しくない」という二者択一~digitalで扱うことができない場合が多い。

    「誰かに殴られたら苦痛である」という内容が正しいか、正しくないかは、人によって答が違う。
    ・大半の人が「誰かに殴られたら苦痛である」という内容は正しい、成立すると思っても、そうじゃない人もいる。
    ・例えば、ボクサーのように殴られることに耐える訓練を日常的に行なっている人は、ちょっと殴られたくらいでは苦痛とは言わない。
    ・SM等の性的倒錯者では、殴られたら快感だという人もいる。

    「正しい」「正しくない」という二者択一、デジタルな範疇を超えた内容を検討する場合には、ゲーデルの不確定性原理をも包含した、より大きな枠組みで思索する必要があるのだと思う。
    ゲーデルの不完全性定理

    ゲーデルの不完全性定理又は単に不完全性定理( - ふかんぜんせいていり、独語:Gödelsche Unvollständigkeitssatz、英語: Gödel's incompleteness theorems)は、数学基礎論における重要な定理の一つで、クルト・ゲーデルが1931年に発表した。

    ・第1不完全性定理 自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。
    ・第2不完全性定理 自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。

    なお、第1不完全性定理の拡張として、前提のω無矛盾性を無矛盾性に弱めた定理がジョン・バークリー・ロッサー (1936) によって示された。
    また、第2不完全性定理に関して、ロッサーによる証明の定義を用いれば、体系自身の無矛盾性が証明できることが、クライゼル (1960) によって指摘されている。



    ゲーデルと数学基礎論の歴史 -不完全性定理-

    ゲーデルの不完全性定理
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